Математический анализ в Maple


Основные средства решения дифференциальных уравнений


Основные средства решения дифференциальных уравнений
Основные средства решения дифференциальных уравнений Основная функция dsolve Важное место в математических расчетах занимает решение дифференциальных уравнений. К нему, в частности, обычно от...
Графическое представление решений дифференциальных уравнений
Графическое представление решений дифференциальных уравнений Применение функции odeplot пакета plots Для обычного графического представления результатов решения дифференциальных уравнений може...
Шаг 1
Шаг 1 Рисунок 13.5. Пример решения одиночного дифференциального уравнения...
Шаг 2
Шаг 2 Рисунок 13.6. Пример решения системы из двух дифференциальных уравнений...
Шаг 3
Шаг 3 Рисунок 13.7. Представление решения системы дифференциальных уравнений в виде фазового портрета...
Функция DEplot из пакета DEtools
Функция DEplot из пакета DEtools Специально для решения и визуализации решений дифференциальных уравнений и систем с дифференциальными уравнениями служит инструментальный пакет DEtools. В него...
Шаг 1
Шаг 1 Рисунок 13.8. Решение системы дифференциальных уравнений Лотки—Вольтерра , с выводом в виде графика векторного поля Еще интересней вариант графиков, представленный на Рисунок 13.9. Зд...
Шаг 2
Шаг 2 Рисунок 13.9. Пример построения двух фазовых портретов на фоне векторного поля...
Функция DEplotSd из пакета DEtools
Функция DEplotSd из пакета DEtools В ряде случаев решение систем дифференциальных уравнений удобно представлять в виде пространственных кривых — например, линий равного уровня или просто в виде...
Шаг 1
Шаг 1 Рисунок 13.10. Пример решения системы из двух дифференциальных уравнений с помощью функции DEptot3d Возможности функции DEplot3d позволяют решать системы, состоящие более чем из двух...
Функция PDEplot пакета DEtools
Функция PDEplot пакета DEtools Еще одна функция пакета DEtools — DEtools[PDEp1ot] — служит для построения графиков решения систем с квазилинейными дифференциальными уравнениями первого порядка...
Шаг 1
Шаг 1 Рисунок 13.11. Пример решения системы из двух дифференциальных уравнений с построением трехмерного фазового портрета Здесь помимо упоминавшихся ранее параметров используются следующие:...
Шаг 2
Шаг 2 Рисунок 13.12. Пример применения функции PDEplot В данном случае решение представлено трехмерной фигурой весьма нерегулярного вида. Другой пример использования функции PDEplot показа...
Графическая функция dfieldplot
Графическая функция dfieldplot Графическая функция dfieldplot служит для построения поля направления с помощью векторов по результатам решения дифференциальных уравнений. Фактически эта функци...
Шаг 1
Шаг 1 Рисунок 13.13. Построение комбинированного графика с помощью функции PDEplot Обратите внимание на использование опций в этом примере, в частности на вывод надписи на русском языке. В це...
Графическая функция phaseportrait
Графическая функция phaseportrait Графическая функция phaseportrait служит для построения фазовых портретов по результатам решения одного дифференциального уравнения или системы дифференциальн...
Шаг 1
Шаг 1 Рисунок 13.14. Построение фазового портрета в виде графика векторного поля...
Шаг 2
Шаг 2 Рисунок 13.15. Построение фазового портрета с помощью функции phaserportrait Еще более интересный пример решения дифференциального уравнения представлен на Рисунок 13.16. Здесь постро...
Шаг 3
Шаг 3 Рисунок 13.16. Построение асимптотического решения на фоне графика векторного поля...
Углубленный анализ дифференциальных уравнений
Углубленный анализ дифференциальных уравнений Задачи углубленного анализа ДУ Maple 7 существенно доработана по части решения дифференциальных уравнений (ДУ) и систем с ДУ. Эта доработка прежде...
Проверка ДУ на автономность
Проверка ДУ на автономность Одиночное дифференциальное уравнение или система дифференциальных уравнений называются автономными, если их правая часть явно не зависит от независимой переменной. Д...
Шаг 1
Шаг 1 В первом случае система дифференциальных уравнений (модель. Лотки-Воль-терра) автономна, а во втором случае дифференциальное уравнение не автономно....
Контроль уровня вывода решения ДУ
Контроль уровня вывода решения ДУ Для углубленного анализа аналитического решения ДУ (или системы ДУ) можно использовать специальную возможность управления уровнем вывода решения с помощью сист...
Шаг 1
Шаг 1 В данном случае повышение уровня вывода до 4 или 5 бесполезно, поскольку вся информация о решении сообщается уже при уровне 2 (или 3)....
Приближенное полиномиальное решение ДУ
Приближенное полиномиальное решение ДУ Во многих случаях аналитические решения даже простых ДУ оказываются весьма сложными, например содержат специальные математические функции. При этом неред...
Шаг 1
Шаг 1...
Шаг 2
Шаг 2 Рисунок 13.17. Примеры решения ДУ третьего порядка...
Решение ОДУ первого порядка
Решение ОДУ первого порядка Начнем рассмотрение практических примеров с решения одиночных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка:...
Шаг 1
Шаг 1 Следующие примеры иллюстрируют возможность решения одного и того же дифференциального уравнения ode_L разными методами:...
Шаг 2
Шаг 2 Объем данной книги не позволяет остановиться на всех тонкостях аналитического решения дифференциальных уравнений. Множество примеров такого решения дано в справочной базе данных Maple,....
Что нового мы узнали?
Что нового мы узнали? В этим уроке мы научились:  Использовать основную функцию решения дифференциальных уравнений dsolve.  Решать дифференциальные уравнения первого порядка. О Реш...
Решение дифференциальных уравнений второго порядка
Решение дифференциальных уравнений второго порядка Здесь видно, что для задания производной используется ранее рассмотренная функция diff. С помощью символа $ можно задать производную более выс...
Шаг 1
Шаг 1...
Шаг 2
Шаг 2 Обратите внимание на решение второго из этих уравнений. Здесь использован прием визуализации исходного дифференциального уравнения, и оно задается значением переменной de. Кроме того, и...
Решение систем дифференциальных уравнений
Решение систем дифференциальных уравнений На Рисунок 13.1 представлено решение системы из двух дифференциальных уравнений различными методами — в явном виде, в виде разложения в ряд и с использ...
Шаг 1
Шаг 1 Рисунок 13.1. Решение системы из двух дифференциальных уравнений различными методами Следует отметить, что, несмотря на обширные возможности Maple 7 в области аналитического решения диф...
Численное решение дифференциальных уравнений
Численное решение дифференциальных уравнений Большинство нелинейных дифференциальных уравнений не имеет аналитического решения. Кроме того, часто аналитическое решение и не нужно, но требуется...
Шаг 1
Шаг 1...
Шаг 2
Шаг 2 Рисунок 13.2. Решение системы дифференциальных уравнений численным методом rkf45 с выводом графика решения Указанная процедура возвращает особый тип данных, позволяющих найти решение в...
Шаг 3
Шаг 3...
Шаг 4
Шаг 4 Рисунок 13.3. Решение системы дифференциальных уравнений численным методом с выводом всех графиков искомых зависимостей  ВНИМАНИЕ  При решении некоторых задач физики и рад...
Дифференциальные уравнения с кусочными функциями
Дифференциальные уравнения с кусочными функциями Функции кусочного типа широко используются при математическом моделировании различных физических объектов и систем. В основе такого моделировани...
Шаг 1
Шаг 1 Используя функцию dsolve, выполним решение этого дифференциального уравнения:...
Шаг 2
Шаг 2 Нетрудно заметить, что результат получен также в форме кусочной функции, полностью определяющей решение на трех интервалах изменениях. Приведем пример решения дифференциального уравнения...
Шаг 3
Шаг 3 В конце этого раздела приведем пример решения нелинейного дифференциального уравнения Риккати с кусочной функцией:...
Шаг 4
Шаг 4 В ряде случаев желательна проверка решения дифференциальных уравнений. Ниже показано, как она делается для последнего уравнения:...
Шаг 5
Шаг 5 Примечание 1Примечание 1 Как видно из приведенных достаточно простых и наглядных примеров, результаты решения дифференциальных уравнений с кусочными функциями могут быть довольно гро...
Структура неявного представления
Структура неявного представления дифференциальных уравнений — DESol В ряде случаев иметь явное представление дифференциальных уравнений нецелесообразно. Для неявного их представления в Maple 7...
Шаг 1
Шаг 1 Рисунок 13.4. Примеры применения структуры DESol...
Инструментальный пакет решения
Инструментальный пакет решения дифференциальных уравнений DEtools Средства пакета DEtools Решение дифференциальных уравнений самых различных типов — одно из достоинств системы Maple 7. Пакет...
Основные функции пакета DEtools
Основные функции пакета DEtools Ввиду обилия функций пакета DEtools дать их полное описание в данной книге не представляется возможным. Поэтому выборочно рассмотрим наиболее важные функции это...
Шаг 1
Шаг 1...
Шаг 2
Шаг 2 Следует отметить, что подстановки являются мощным средством решения дифференциальных уравнений. Нередки случаи, когда дифференциальное уравнение не решается без их применения. Дополнител...
Шаг 3
Шаг 3 Функция convertAlg(des,dvar) возвращает список коэффициентов формы системы дифференциальных уравнений des с зависимыми переменными dvar. Это поясняют следующие примеры:...
Шаг 4
Шаг 4 Для изменения переменных в системах дифференциальных уравнений используется функция convertsys: convertsys(deqns, inits, vars, ivar, yvec, ypvec) Здесь deqns — одно дифференциальн...
Шаг 5
Шаг 5 Функция: reduceOrder(des.dvar,partsol, solutionForm) обеспечивает понижение порядка дифференциального уравнения des (или системы уравнений, представленных списком или множеством)...
Шаг 6
Шаг 6 Функция: regularsp(des,ivar,dvar) вычисляет регулярные особые (сингулярные) точки для дифференциального уравнения второго порядка или системы дифференциальных уравнений des. Следую...
Шаг 7
Шаг 7 Более подробную информацию об этих функциях читатель найдет в их справочных страницах, а также в информационном документе detdols.mws содержащем систематизированное описание пакета DEto...








Начало