Математический анализ в Maple

Фитнес питание с доставкой подробнее. |

Вычисление сумм последовательностей


Вычисление сумм последовательностей
Вычисление сумм последовательностей Основные формулы для вычисления сумм последовательностей Применение систем символьной математики особенно эффективно при решении задач математического анал...
Шаг 1
Шаг 1 является достаточно распространенной операцией математического анализа. Для вычисляемой и инертной форм сумм последовательностей служат следующие функции: sum(f.k):   &n...
Вычисление производных
Вычисление производных Функции дифференцирования выражений diff и Diff Вычисление производных функций fn(x) = dfn(x)/dxn n-го порядка — одна из самых распространенных задач математического ан...
Шаг 1
Шаг 1 Как видно из приведенных примеров, функции вычисления производных могут использоваться с параметрами, заданными списками. Приведенные ниже примеры показывают эти возможности и иллюстриру...
Шаг 2
Шаг 2...
Шаг 3
Шаг 3 Получаемые в результате дифференцирования выражения могут входить в другие выражения. Можно задавать их как функции пользователя и строить графики производных....
Дифференциальный оператор D
Дифференциальный оператор D Для создания функций с производными может также использоваться дифференциальный оператор D. Порою он позволяет создавать более компактные выражения, чем функции di...
Шаг 1
Шаг 1 Следующий пример показывает дифференцирование функции пользователя fun с применением дифференциального оператора D и функции diff:...
Шаг 2
Шаг 2 Дифференциальный оператор можно применять и для дифференцирования функций нескольких переменных по заданной переменной:...
Шаг 3
Шаг 3 Пример применения дифференциального оператора для функции f, заданной программным объектом-процедурой, представлен ниже:...
Шаг 4
Шаг 4 Этот пример показывает реализацию схемы Горнера для полинома b степени n от переменной х. При этом применение оператора дифференцирования возвращает процедуру. Ряд интересных возможност...
Вычисление интегралов
Вычисление интегралов Вычисление неопределенных интегралов Вычисление неопределенного интеграла обычно заключается в нахождении первообразной функции. Это одна из широко распространенных опер...
Шаг 1
Шаг 1 Обратите внимание, что в аналитическом представлении неопределенных интегралов отсутствует произвольная постоянная С. Не следует забывать о ее существовании. Для вычисления кратных интег...
Шаг 2
Шаг 2...
Шаг 3
Шаг 3  ПРИМЕЧАНИЕ  Maple 7 успешно берет большинство справочных интегралов. Но не всегда форма представления интеграла совпадает с приведенной в справочнике. Иногда требуется до...
Конвертирование и преобразование интегралов
Конвертирование и преобразование интегралов В некоторых случаях Maple 7 не может вычислить интеграл. Тогда она просто повторяет его. С помощью функций taylor и convert можно попытаться получит...
Шаг 1
Шаг 1 Естественно, что в этом случае решение является приближенным, но оно все же есть и с ним можно работать, например построить график функции, представляющей данный интеграл. Система Maple...
Шаг 2
Шаг 2 Хотя полученный результат, выраженный через гамма- функцию, нельзя назвать очень простым, но он существует и с ним также можно работать. Например, можно попытаться несколько упростить ег...
Шаг 3
Шаг 3 Разумеется, существует также множество иных возможностей и приемов для выполнения операции интегрирования. В дальнейшем мы неоднократно будем рассматривать и другие, более специфические...
Вычисление определенных интегралов
Вычисление определенных интегралов Другой важной операцией является нахождение в аналитической или численной форме определенного интеграла:...
Шаг 1
Шаг 1 Определенный интеграл удобно трактовать как площадь, ограниченную кривой f(x), осью абсцисс и вертикалями с координатами, равными а и b. При этом площадь ниже оси абсцисс считается отри...
Шаг 2
Шаг 2...
Шаг 3
Шаг 3 Как видно из этих примеров, среди значений пределов может быть бесконечность, обозначаемая как infinity....
Каверзные интегралы и визуализация
Каверзные интегралы и визуализация результатов интегрирования Выше мы уже сталкивались с примерами вычисления «каверзных» интегралов. Немного продолжим эту важную тему и заодно расс...
Шаг 1
Шаг 1 Хотя первое из решений является самым кратким и, скорее всего, единственным точным решением, оно может и должно насторожить опытного пользователя. Дело в том, что в полученном выражении...
Шаг 2
Шаг 2 Нетрудно заметить, что решение распадается на множество слагаемых, соответствующих общеизвестному интегрированию по частям. В каждом слагаемом имеются большие числа, и потому принципиаль...
Шаг 3
Шаг 3...
Шаг 4
Шаг 4 Однако радоваться несколько преждевременно. Многие ли математики знают, что это за специальная функция — WhittakerM? Студенты, любящие подшучивать над своим профессором, могут попробова...
Шаг 5
Шаг 5...
Шаг 6
Шаг 6 а...
Шаг 7
Шаг 7 б Рисунок 8.1. Значение интеграла от х^n*ехр(-х) как функция n Увы, попытка вычислить по этому выражению значение интеграла не всегда дает корректный результат. Например, при х от -2 до...
Шаг 8
Шаг 8...
Шаг 9
Шаг 9 а...
Шаг 10
Шаг 10 б Рисунок 8.2. Построение графика зависимости значений интеграла с подынтегральной функцией 1/(х+а)^2 от параметра а Рисунок 8.3 показывает это решение с двумя важными дополнениями — он...
Шаг 11
Шаг 11 Возьмем еще один наглядный пример — вычисление интеграла от синусоидальной функции при произвольно больших пределах, но кратных 2я! Очевидно, что при этом (учитывая равность площадей по...
Шаг 12
Шаг 12 Рисунок 8.3. Зависимость значения интеграла с подынтегральной функцией 1/(х+а)^2 и пределами от 0 до 2 от параметра а Однако распространение этого правила на бесконечные пределы интегр...
Шаг 13
Шаг 13 Рисунок 8.4. График «затухающей синусоиды» и интеграл от нее с пределами от 0 до бесконечности Однако называть такую функцию «затухающей синусоидой», безусловн...
Шаг 14
Шаг 14 Рисунок 8.5. График «экспоненциально нарастающей синусоиды» и интеграл от нее с пределами от 0 до бесконечности На этом примере очень четко отслеживается разница в мышлени...
Интегралы с переменными пределами интегрирования
Интегралы с переменными пределами интегрирования К интересному классу интегралов относятся определенные интегралы с переменными пределами интегрирования. Если обычный определенный интеграл пред...
Шаг 1
Шаг 1 Рисунок 8.6. Примеры интегралов с переменными пределами интегрирования На этом рисунке построены также графики подынтегральной функции (это наклонная прямая) и функции, которую задает...
Вычисление кратных интегралов
Вычисление кратных интегралов Функции int и Int могут использоваться для вычисления кратных интегралов, например двойных и тройных. Для этого функции записываются многократно:...
Шаг 1
Шаг 1 Обратите внимание на нечеткую работу функции evalf в последнем примере. Эта функция уверенно выдает значение evalf (Pi) в форме вещественного числа с плавающей точкой, но отказывается в...
Вычисление пределов функций
Вычисление пределов функций Для вычисления пределов функции f в точке х =а используются следующие функции: limit(f,x=a); limit(f,x=a.dir);   Limit(f.x=a);   Limit(f....
Шаг 1
Шаг 1 Обратите внимание на то, что в первом примере фактически дано обозначение предела в самом общем виде. Рисунок 8.7 показывает вычисление пределов функции tan(x) в точке х=n/2, а также сл...
Шаг 2
Шаг 2 Рисунок 8.7. Пример вычисления пределов функции tan(x) и построение ее графика Показанный на Рисунок 8.7 график функции tan(x) наглядно подтверждает существование пределов справа и...
Разложение функций в ряды
Разложение функций в ряды Разложение в степенной ряд Огромное разнообразие функций давно заставляло математиков задумываться над возможностями их приближенного, но единообразного представлени...
Шаг 1
Шаг 1 Здесь видно, что член, обозначающий погрешность, отсутствует в тех разложениях, которые точны, например, в разложениях степенных многочленов. Для визуализации приближения рядами заданных...
Последовательности с заданным числом членов
Последовательности с заданным числом членов Простейшими являются суммы последовательностей с фиксированным числом членов. Ниже даны примеры применения этих функций:...
Шаг 1
Шаг 1 Обратите внимание, что во втором примере система отказалась от вычисления, а в третьем даже выдала сообщение об ошибке, связанной с тем, что переменной k перед вычислением сумм было прис...
Разложение в ряды Тейлора и Маклорена
Разложение в ряды Тейлора и Маклорена Для разложения в ряд Тейлора используется функция taylor(expr, eq/nm, n). Здесь ехрr — разлагаемое в ряд выражение, eq/nm — равенство (в виде х=а) или имя...
Шаг 1
Шаг 1 Не все выражения (функции) имеют разложение в ряд Тейлора. Ниже дан пример такого рода: > taylor(l/x+x^2,x,5): Error, does not have a taylor expansion, try seriesQ > ser...
Шаг 2
Шаг 2 Для получения только коэффициента при k=м члене ряда Тейлора можно использовать функцию coeftayl (expr,var,k). Если ехрr — функция нескольких переменных, то k должен задаваться списком...
Пример документа — разложение синуса в ряд
Пример документа — разложение синуса в ряд Полезно сочетать разложение выражений (функций) в ряд Тейлора с графической визуализацией такого разложения. Рассмотрим документ, в котором наглядно...
Шаг 1
Шаг 1 Рисунок 8.8. Разложение функции sin(x) в ряд Маклорена 6-го порядка и построение ее графика...
Шаг 2
Шаг 2 Рисунок 8.9. Разложение функции sin(x) в ряд Маклорена 12-го порядка и построение ее графика...
Шаг 3
Шаг 3a...
Шаг 4
Шаг 4 б Рисунок 8.10. Разложение функции sin(x) в ряд Тейлора 12-го порядка относительно точки х = 1 и построение ее графика Помимо указанных выше разложений в ряд Maple 7 имеет множеств...
Решение уравнений и неравенств
Решение уравнений и неравенств Основная функция solve Решение линейных и нелинейных уравнений и неравенств — еще одна важная область математического анализа. Maple 7 имеет мощные средства для...
Решение одиночных нелинейных уравнений
Решение одиночных нелинейных уравнений Решение одиночных нелинейных уравнений вида f(x) = 0 легко обеспечивается функций solve(f,(x),x). Это демонстрируют следующие примеры:...
Шаг 1
Шаг 1 Часто бывает удобно представлять уравнение и его решение в виде отдельных объектов, отождествленных с определенной переменной:...
Шаг 2
Шаг 2 В частности, это позволяет легко проверить решение (даже если оно не одно, как в приведенном примере) подстановкой (subs):...
Шаг 3
Шаг 3 Сводящиеся к одному уравнению равенства вида f1(x)=fl(x) также решаются функцией solve(fl(x)=f2(x),x):...
Шаг 4
Шаг 4 Обратите внимание в этих примерах на эффективность применения функции evalf, позволяющей получить решения, выраженные через функцию RootOf, в явном виде....
Решение тригонометрических уравнений
Решение тригонометрических уравнений Функция solve может использоваться для решения тригонометрических уравнений:...
Шаг 1
Шаг 1 Однако из приведенных примеров видно, что при этом найдено только одно (главное) решение. Периодичность тригонометрических функций и связанная с этим множественность решений оказались пр...
Шаг 2
Шаг 2 На Рисунок 8.11 показан более сложный случай решения нелинейного уравнения вида f1(x)=f2(x). где f1(х) = sin(x) и f2(x) = cos(x) - 1. Решение дано в графическом виде и в аналитическом д...
Шаг 3
Шаг 3...
Шаг 4
Шаг 4 Рисунок 8.11. Пример решения уравнения, имеющего периодические решения...
Шаг 5
Шаг 5...
Решение систем линейных уравнений
Решение систем линейных уравнений Для решения систем линейных уравнений созданы мощные матричные методы, которые будут описаны отдельно. Однако функция solve также может с успехом решать систе...
Шаг 1
Шаг 1 Рисунок 8.12. Примеры решения системы из двух линейных уравнений с графической иллюстрацией Во втором случае решения и впрямь нет, ибо уравнения задают параллельно расположенные прямы...
Шаг 2
Шаг 2 Рисунок 8.13. Пример решения системы из трех линейных уравнений с графической иллюстрацией решения...
Шаг 3
Шаг 3 Рисунок 8.14. Графическая иллюстрация особых случаев решения системы из трех линейных уравнений Следующий пример показывает решение системы из четырех линейных уравнений:...
Шаг 4
Шаг 4 Эта система имеет решение, но его простая графическая иллюстрация уже невозможна. Случай решения неполной системы уравнений (уравнений — 3, а неизвестных — 4) иллюстрирует следующий прим...
Шаг 5
Шаг 5 Как видно из приведенных примеров, функция solve неплохо справляется с решением систем линейных уравнений....
Решение систем нелинейных и трансцендентных уравнений
Решение систем нелинейных и трансцендентных уравнений Функция solve может использоваться для решения систем нелинейных и трансцендентных уравнений. Для этого система уравнений и перечень неизве...
Шаг 1
Шаг 1 В этих примерах хорошо видна техника работы с функциями solve и assign. В конце примеров показано восстановление неопределенного статуса переменных х и у с помощью функции unassign и...
Функция RootOf
Функция RootOf В решениях уравнений нередко появляется функция RootOf, означающая, что корни нельзя выразить в радикалах. Эта функция применяется и самостоятельно в виде RootOf(ехрr) или Root...
Шаг 1
Шаг 1 Итак, функция RootOf является эффективным способом представления решения в компактном виде. Как уже отмечалось, наряду с самостоятельным применением она часто встречается в составе резу...
Решение уравнений со специальными функциями
Решение уравнений со специальными функциями К важным достоинствам Maple 7 относится возможность решения уравнений, содержащих специальные функции как в записи исходных выражений, так и в резуль...
Шаг 1
Шаг 1...
Решение неравенств
Решение неравенств Неравенства в математике встречаются почти столь же часто, как и равенства. Они вводятся знаками отношений, например: > (больше), < (меньше) и т. д. Решение неравенств...
Шаг 1
Шаг 1...
Шаг 2
Шаг 2 а...
Шаг 3
Шаг 3 б Рисунок 8.15. Примеры, иллюстрирующие решение неравенств...
Шаг 4
Шаг 4...
Шаг 5
Шаг 5 В последних примерах показано решение систем неравенств." При этом выдаются области определения нескольких переменных....
Суммы с заданным пределом
Суммы с заданным пределом Особый класс образуют последовательности, у которых предел задается в общем виде значением переменной. Ниже представлен ряд последовательностей, у которых предел задае...
Шаг 1
Шаг 1 Такого рода последовательности, как видно из приведенных примеров, нередко имеют аналитические выражения для своего значения. Его вычисление намного проще, чем формирование заданной посл...
Решение функциональных уравнений
Решение функциональных уравнений Решение функционального уравнения, содержащего в составе равенства некоторую функцию f(x), заключается в нахождении этой функции. Для этого можно использовать ф...
Шаг 1
Шаг 1...
Решение уравнений с линейными операторами
Решение уравнений с линейными операторами Maple 7 позволяет решать уравнения с линейными операторами, например с операторами суммирования рядов и дифференцирования. Ограничимся одним примером т...
Шаг 1
Шаг 1...
Решение в численном виде — функция fsolve
Решение в численном виде — функция fsolve Для получения численного решения нелинейного уравнения или системы нелинейных уравнений в форме вещественных чисел удобно использовать функцию: fsolv...
Шаг 1
Шаг 1   Заметим, что локализация поиска корней в заданном интервале позволяет отыскивать такие решения, которые не удается получить с помощью функций solve и fsolve в обычном применении....
Решение рекуррентных уравнений — rsolve
Решение рекуррентных уравнений — rsolve Функция solve имеет ряд родственных функций. Одну из таких функций — fsolve — мы рассмотрели выше. В справочной системе Maple 7 можно найти ряд и других...
Шаг 1
Шаг 1 А теперь приведем результат вычисления функцией rsolve n-го числа Фибоначчи. Оно задается следующим выражением: > eql :- (f(n+2) = f(rn-l) + f(n) . f(0) - 1 . f(l) - 1}: eql~{f(n...
Шаг 2
Шаг 2 Числа Фибоначчи — целые числа. Поэтому представленный результат выглядит как весьма сомнительный. Но на самом деле он точный и с его помощью можно получить числа Фибоначчи. Ниже показан...
Решение уравнений в целочисленном виде — isolve
Решение уравнений в целочисленном виде — isolve Иногда бывает нужен результат в форме только целых чисел. Для этого используется функция isolve(eqns, vans), дающая решение в виде целых чисел. П...
Шаг 1
Шаг 1 Результат вычислений одинаков при любом формате вывода, но иногда вывод в текстовом формате с выделением вспомогательных переменных имеет преимущество, поскольку выглядит более компактны...
Функция msolve
Функция msolve Функция msolve(eqns,vars.m) или msolve(eqns,m) обеспечивает решение вида Z mod m (то есть при подстановке решения левая часть4 при делении нат дает остаток, равный правой части...
Что нового мы узнали?
Что нового мы узнали? В этом уроке мы научились:  Вычислять суммы членов последовательностей.  Вычислять произведения членов последовательностей.  Вычислять производные.  В...
Суммы бесконечных последовательностей
Суммы бесконечных последовательностей Многие суммы бесконечных последовательностей сходятся к определенным численным или символьным значениям, и система Maple 7 способна их вычислять. Это поясн...
Шаг 1
Шаг 1...
Шаг 2
Шаг 2...
Сумма от перемены мест слагаемых меняется!
Сумма от перемены мест слагаемых меняется! Даже школьники хорошо знают, что от перестановки слагаемых сумма не изменяется. Однако Maple 7 (кстати, как и большинство других систем компьютерной м...
Шаг 1
Шаг 1...
Шаг 2
Шаг 2 ВНИМАНИЕ  При вычислении сумм последовательностей надо строго соблюдать прямой (нарастающий) порядок задания значений индексной переменной суммы. Нарушение этого порядка чревато...
Двойные суммы
Двойные суммы Могут встречаться множественные суммы по типу «сумма в сумме». Ограничимся приведением примера двойной суммы, имеющей аналитическое значение:...
Шаг 1
Шаг 1 При конкретном значении N такую сумму нетрудно вычислить подстановкой:  > subs( N = 100, %);    8670850 Как видно из приведенных примеров, средства вычисления...
Вычисление произведений членов последовательностей
Вычисление произведений членов последовательностей Основные формулы для произведения членов последовательностей Аналогичным образом для произведений членов f(i) некоторой последовательности, н...
Шаг 1
Шаг 1 используются следующие функции: product(f,k);    product(f,k=m..n):    product (f,k=alpha): Product(f,k);    Product(f,k=m..n): &...
Примеры вычисления произведений членов последовательностей
Примеры вычисления произведений членов последовательностей Примеры применения функций вычисления произведений даны ниже:...
Шаг 1
Шаг 1 Как и в случае вычисления сумм, вычисление произведений возможно как в численной, так и в аналитической форме — разумеется, если таковая существует. Это показывает следующий пример:...
Шаг 2
Шаг 2 Нетрудно понять, что при i, стремящемся к бесконечности, перемножаемые члены последовательности стремятся к нулю, а потому к нулю стремится и их произведение. Вопросы доказательства подо...
От перемены места сомножителей произведение меняется!
От перемены места сомножителей произведение меняется! Хотя произведение не зависит от порядка расположения сомножителей, их перестановка в Maple 7 недопустима. Это иллюстрируют следующие пример...
Шаг 1
Шаг 1  ВНИМАНИЕ  При вычислении произведений надо строго соблюдать прямой (нарастающий) поря-— док задания значений индексной переменной произведения. Нарушение этого порядка чр...








Начало