Assembler - язык неограниченных возможностей
Вычисления с плавающей запятой
Набор команд для работы с плавающей запятой в процессорах Intel достаточно разнообразен, чтобы реализовывать весьма сложные алгоритмы, и прост в использовании. Единственное, что может представлять определенную сложность, — почти все команды FPU по умолчанию работают с его регистрами данных как со стеком, выполняя операцию над числами в ST(0) и ST(1) и помещая результат в ST(0), так что естественной формой записи математических выражений для FPU оказывается обратная польская нотация (RPN). Эта форма записи встречается в программируемых калькуляторах, языке Форт и почти всегда неявно присутствует во всех алгоритмах анализа математических выражений: они сначала преобразовывают обычные выражения в обратные и только потом начинают их анализ. В обратной польской нотации все операторы указываются после своих аргументов, так что sin(x) превращается в х sin, a а+b превращается в a b +. При этом полностью пропадает необходимость использовать скобки, например: выражение (a+b)*7-d записывается как а b + 7 * d -.
Посмотрим, как выражение, записанное в RPN, легко воплощается при помощи команд FPU на примере процедуры вычисления арксинуса.
; asin ; вычисляет арксинус числа, находящегося в st(0) (-1 <= х <= +1) ; по формуле asin(x) = atan(sqrt(x2/(1-x2))) ; (в RPN: x x * x x * 1 - / sqrt atan) ; результат возвращается в st(0), в стеке FPU должно быть ; два свободных регистра asin proc near ; комментарий показывает содержимое стека FPU: ; первое выражение - ST(0), второе - ST(1) и т.д. ; х (начальное состояние стека) fld st(0) ; х, х fmul ; x2
fld st(0) ; х2, х2
fld1 ; 1, x2, x2
fsubr ; 1-х2, x2
fdiv ; x2/(1-x2) fsqrt ; sqrt(x2/(1-x2)) fld1 ; 1, sqrt(x2/(1-x2)) fpatan ; atan(sqrt(x2/(1-x2))) ret asin endp
Теперь попробуем решить небольшое дифференциальное уравнение — уравнение Ван-дер-Поля для релаксационных колебаний:
х" = -х + m(1-х2)х', m > 0
будем двигаться по времени с малым шагом h, так что
x(t + h) = x(t) + hx(t)' x(t + h)' = x(t)' + hx(t)"
или, сделав замену у = х',
у = у + h(m(1-x2)y - х) х = х + hy
Это уравнение интересно тем, что его решение для всех m > 0 оказывается периодическим аттрактором, так что, если из-за ошибок округления решение отклоняется от истинного в любую сторону, оно тут же возвращается обратно. При m = 0, наоборот, решение оказывается неустойчивым и ошибки округления приводят к очень быстрому росту х и у до максимальных допустимых значений для вещественных чисел.
Эту программу нельзя реализовать в целых числах или числах с фиксированной запятой, потому что значения х и х' различаются на много порядков — кривая содержит почти вертикальные участки, особенно при больших m.
; vdp.asm ; решение уравнения Ван-дер-Поля ; x(t)" = -x(t) + m(1-x(t)2)x(t)' ; с m = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ; ; программа выводит на экран решение с m = 1, нажатие клавиш 0 - 8 изменяет m ; Esc - выход, любая другая клавиша - пауза до нажатия одной из Esc, 0 - 8
.model tiny .286 ; для команд pusha и рора .287 ; для команд FPU .code org 100h ; СОМ-программа
start proc near cld push 0A000h pop es ; адрес видеопамяти в ES mov ax,0012h int 10h ; графический режим 640x480x16 finit ; инициализировать FPU xor si, si ; SI будет содержать координату t и меняться ; от 0 до 640 fld1 ; 1 fild word ptr hinv ; 32, 1 fdiv ; h (h = 1/hinv) ; установка начальных значений для _display: ; m = 1, x = h = 1/32, у = х' = 0 again: fild word ptr m ; m, h fld st(1) ; x, m, h (x = h) fldz ; y, x, m, h (y = 0) call _display ; выводить на экран решение, пока ; не будет нажата клавиша g_key: mov ah,10h ; чтение клавиши с ожиданием int 16h ; код нажатой клавиши в AL, cmp al,1Bh ; если это Esc, jz g_out ; выйти из программы, cmp al,'0' ; если код меньше "0", jb g_key ; пауза/ожидание следующей клавиши, cmp al,'8' ; если код больше "8", ja g_key ; пауза/ожидание следующей клавиши, sub al,'0' ; иначе: AL = введенная цифра, mov byte ptr m,al ; m = введенная цифра fstp st(0) ; x, m, h fstp st(0) ; m, h fstp st(0) ; h jmp short again
g_out: mov ах,0003h ; текстовый режим int 10h ret ; конец программы start endp
; процедура _display ; пока не нажата клавиша, выводит решение на экран, ; делая паузу после каждой из 640 точек ; _display proc near dismore: mov bx,0 ; стереть предыдущую точку: цвет = 0 mov cx,si shr cx,1 ; CX - строка mov dx,240 sub dx,word ptr ix[si] ; DX - столбец call putpixel1b call next_x ; вычислить x(t) для следующего t mov bx,1 ; вывести точку: цвет = 1 mov dx,240 sub dx,word ptr ix[si] ; DX - столбец call putpixel1b inc si inc si ; SI = SI + 2 (массив слов), cmp si,640*2 ; если SI достигло конца массива IX, jl not_endscreen ; пропустить паузу sub si,640*2 ; переставить SI на начало массива IX not_endscreen: mov dx,5000 xor cx,cx mov ah,86h int 15h ; пауза на CX:DX микросекунд mov ah,11h int 16h ; проверить, была ли нажата клавиша, jz dismore ; если нет - продолжить вывод на экран, ret ; иначе - закончить процедуру _display endp
; процедура next_x ; проводит вычисления по формулам: ; y = y + h(m(1-x2)y-x) ; х = х + hy ; ввод: st = y, st(1) = х, st(2) = m, st(3) = h ; вывод: st = y, st(1) = x, st(2) = m, st(3) = h, x * 100 записывается в ix[si] next_x proc near fld1 ; 1, y, x, m, h fld st(2) ; x, 1, y, x, m, h fmul st,st(3) ; x2, 1, y, x, m, h fsub ; (1-x2), y, х, m, h fld st(3) ; m, (1-x2), y, x, m, h fmul ; M, y, x, m, h (M = m(1-x2)) fld st(1) ; y, M, y, x, m, h fmul ; My, y, x, m, h fld st(2) ; x, My, y, x, m, h fsub ; My-x, y, x, m, h fld st(4) ; h, My-x, y, x, m, h fmul ; h(My-x), y, x, m, h fld st(1) ; y, h(My-x), y, x, m, h fadd ; Y, y, x, m, h (Y = y + h(My-x)) fxch ; y, Y, x, m, h fld st(4) ; h, y, Y, x, m, h fmul ; yh, Y, x, m, h faddp st(2),st ; Y, X, m, h (X = x + hy) fld st(1) ; X, Y, X, m, h fild word ptr c_100 ; 100, X, Y, X, m, h fmul ; 100X, Y, X, m, h fistp word ptr ix[si] ; Y, X, m, h ret next_x endp
; процедура вывода точки на экран в режиме, использующем 1 бит на пиксель ; DX = строка, СХ = столбец, ES = A000h, ВХ = цвет (1 - белый, 0 - черный) ; все регистры сохраняются
putpixel1b proc near pusha ; сохранить регистры push bx xor bx,bx mov ax,dx ; AX = номер строки imul ax,ax,80 ; AX = номер строки * число байт в строке push cx shr сх,3 ; СХ = номер байта в строке add ax,cx ; АХ = номер байта в видеопамяти mov di,ax ; поместить его в DI и SI mov si,di pop сх ; СХ снова содержит номер столбца mov bx,0080h and cx,07h ; последние три бита СХ = ; остаток от деления на 8 = ; номер бита в байте, считая справа налево shr bx,cl ; теперь в BL установлен в 1 нужный бит lods es:byte ptr ix ; AL = байт из видеопамяти pop dx dec dx ; проверить цвет: js black ; если 1 - or ax,bx ; установить выводимый бит в 1, jmp short white black: not bx ; если 0 - and ax,bx ; установить выводимый цвет в 0 white: stosb ; и вернуть байт на место рора ; восстановить регистры ret ; конец putpixel1b endp
m dw 1 ; начальное значение m с_100 dw 100 ; масштаб по вертикали hinv dw 32 ; начальное значение 1/h ix: ; начало буфера для значений x(t) ; (всего 1280 байт за концом программы) end start
