Математический анализ в Maple 9



Вычисление производных функций, заданных параметрически

При вычислении производных функций, заданных параметрически, по сравнению с явно заданными функциями, принципиально ничего не меняется. Однако сама процедура вычисления производных (особенно высших порядков) становится несколько сложнее.

Рассмотрим пример.

Задача 2.7

Найти производную функции, заданной параметрически: x(t) = acos(t) и y(t) = bsin(t).

Переменной х присвоим значение.

Так же поступим и с переменной у.

Теперь х и у являются выражениями, которые зависят от переменной-параметра t; по этому параметру их можно дифференцировать. Поэтому остается только воспользоваться приведенной выше формулой для производной функции, заданной в параметрическом виде.

Построим график функции и ее производной с помощью процедуры plot(). При построении графика только одной функции, заданной в параметрическом виде, первым параметром процедуры указывается список, элементами которого являются выражения, определяющие зависимость х и у от переменной-параметра, а также диапазон изменения параметра. Если нужно построить графики сразу нескольких параметрически заданных функций, то в качестве первого аргумента процедуры plot() указывается список, элементами которого являются списки, составленные по описанному выше принципу: в каждом списке три элемента, первые два задают параметрические зависимости, а третий определяет диапазон изменения параметра.

Внимание!
Именно наличие третьего параметра в списке при отображении заданной в параметриче-V ском виде функции является индикатором того, что строится график параметрической функции, а не графики двух разных функций.


Поскольку в исходных параметрических зависимостях х и у зависят от параметров а и b, при построении графиков эти зависимости следует поделить на соответствующие коэффициенты.

Следует обратить внимание на то, что при определении заголовка использовался символ перехода на новую строку (\n). Данный символ рекомендуется использовать при длинных заголовках, чтобы при отображении графика такой заголовок был виден целиком.

Процесс вычисления параметрической производной можно существенно автоматизировать. Подобный подход продемонстрирован в следующем примере.

Задача 2.8

Найти производную функции, заданной параметрически:

Для решения поставленной задачи опишем специальную процедуру.

Название parametricdiff новой процедуры, заключенное в обратные кавычки, определяется пользователем (его можно изменить по своему усмотрению). В данном случае кавычки не имеют значения, все и так будет работать, однако разработчики Maple рекомендуют придерживаться определенных правил (к ним относится и использование при описании процедур обратных кавычек), которые впоследствии помогут избежать многих неприятностей.

После названия процедуры и оператора присваивания (:=) следует стандартное слово рrос() с указанием в скобках параметров процедуры: в данном случае их три — х, у и t. После этого идет команда, выполняемая процедурой (этой командой вычисляется параметрическая производная), а затем в конце указана стандартная конструкция end proc, после которой стоит двоеточие. Если закончить описание процедуры точкой с запятой, в области вывода будет сгенерирован код процедуры.

Далее определяем х и у как функции переменной-параметра.

На заметку
Тот факт, что переменные х и у использовались в описании процедуры, не мешает описывать их как функции параметра. Дело в том, что Maple предусмотрительно различает переменные, используемые при описании процедур, и переменные, используемые непосредственно в главном документе. Даже если они имеют одинаковые названия! Исключением являются переменные, описанные в процедуре в разделе global (об этом речь пойдет несколько позже). Это так называемые глобальные переменные, и они доступны даже вне тела процедуры.


Теперь используем новую процедуру для вычисления производной.

Но в данном случае упростить результат все же придется.

Очевидно, что последняя операция не всегда является необходимой — упрощение выражений зависит от многих факторов, в том числе и от предпочтений пользователя.