Математический анализ в Maple 9

поменяем правильно маховое колесо в сервисе


Частные производные

Для вычисления частных производных применяется процедура diff (). В случае функции нескольких переменных через запятую указываются те из них, по которым берется производная (при этом допускается использование оператора $).

На заметку
Частной производной от функции нескольких переменных называется производная по одной из этих переменных при фиксированных прочих.


При вычислении частных производных допускается также использование оператора D. После оператора в квадратных скобках указывают индекс, соответствующий номеру аргумента функции, по которому вычисляется производная. Например, для функции трех переменных u(x,y,z) производная может быть вычислена с помощью команды D[2,3](u)(x,y,z).

Задача 2.20

Найти частные производные первого и второго порядков от функции и(х,у) = х'+у*-4х2у2.

Определим функцию двух аргументов (аргументы указываются через запятую и заключаются в скобки).

Используя для записи результата процедуру дифференцирования в неактивной форме (Diff ()), вычислим частную производную по х.

Прочие производные вычисляются аналогично.

Стоит обратить внимание на то, что при вычислении частных производных можно использовать оператор $.

Однако если производных много и они достаточно высокого порядка, запись отдельной команды для каждой такой производной становится утомительным занятием. Иногда в таких случаях полезно определять специальные процедуры, как в следующем примере.

Задача 2.21

Найти частные производные первого и второго порядков от функции и (х,у) = х".

Как и раньше, определяем функцию.

Однако чтобы не вводить для вычисления производных пять отдельных команд, определим всего одну процедуру, которая будет вычислять все производные вплоть до второго порядка от функции двух неизвестных.

Функция и является параметром процедуры. Первый цикл с оператором do используется для вычисления производных первого порядка. Условие s in x,y указывает на то, что переменная s пробегает значения элементов из последовательности х;у, по которым и берется производная. Так же организован и второй цикл, в котором вычисляются вторые производные, однако он содержит еще один вложенный цикл. В процедуре использована также процедура print(), которая выводит на экран выражение, указанное ее параметром (выражение предварительно вычисляется).

Чтобы отобразить все частные производные функции и, достаточно указать эту функцию в качестве параметра процедуры AllDeriv().

В частности, можно проверить, что смешанные производные не зависят от порядка дифференцирования.

Совет
Как можно видеть, выводимые на экран выражения для частных производных допус-некоторое упрощение. Чтобы это выполнялось автоматически, соответствующую команду (например, simplify()) можно разместить прямо в теле процедуры.