Математический анализ в Maple 9



Замена переменных

Очень часто в выражениях, содержащих производные, приходится переходить к новым переменным.

Внимание!
Если необходимо выполнить замену переменных в дифференциальном выражении, I в Maple в пакете PDEtools есть процедура dchange(). Первым параметром этой процедуры указывают равенство (или множество, состоящее из равенств), определяющее переход от старых переменных к новым, а вторым параметром — выражение, в котором следует выполнить эту замену. Кроме того, может использоваться ряд опций, информация о которых есть в справочной системе Maple. Ниже приведен пример использования процедуры dchange().


Сначала подключаем пакет.

Новая переменная вводится согласно соотношению х =ехр(/)

После упрощения получаем следующее

Замену переменных можно выполнить и в том случае, если переменных несколько. Рассмотрим выражение

В этом выражении перейдем к новым переменным и и v согласно соотношениям х = uv и у = (и1 -v2)/2 , и после упрощения получим следующее.

Процедура dchange() полезна во многих случаях. Однако желательно уметь обходиться и без нее. Рассмотрим, как без специальных команд приведения выражений к новым переменным выполнить подобные замены.

Задача 2.24

Преобразовать к полярным координатам уравнение у'(х) =x+y/x-y

Опишем процедуру, посредством которой в дальнейшем будет осуществляться переход к новым координатам. Параметрами процедуры будут новая переменная t, новая функция u(t) и две функции f и g, посредством которых выполняется переход от старых переменной и функции к новым.

Тело процедуры состоит из одного выражения, определяющего производную от старой функции по старой переменной в терминах новой функции и новой переменной.

Определим функции перехода от декартовой системы координат к полярной.

Теперь запишем декартовы координаты через полярные (это понадобится в дальнейшем).

Новая процедура позволяет выразить производную в полярных координатах.

Исходное уравнение будет записано следующим образом.

Поскольку предварительно декартовы координаты были выражены через полярные, правая часть равенства будет представлена тоже в полярной системе координат.

В полученном уравнении выделим производную. Для этого решим уравнение относительно этой производной.

Таким образом, можем записать окончательный результат.

В последней команде левая часть уравнения нужна для формального отображения символа производной. Однако следует иметь в виду, что вычислительным ядром Maple левая часть уравнения как производная не интерпретируется. Чтобы равенство можно было в дальнейшем трактовать как дифференциальное уравнение, следует воспользоваться процедурой Diff().

Задача 2.25

Перейти к новым переменным и , v, w в уравнении

В отличие от предьщущего случая, здесь выражение содержит частные производные, а функции (старая и новая) являются функциями двух переменных.

Определим уравнение, которое следует преобразовать.

Теперь у процедуры три параметра-функции, определяющие правила перехода от старых переменных и функции к новым.

В соответствии с правилами перехода к новым переменным, определяем юцедуру, аргументами которой выступают законы перехода F, G и Н к новым параметрам u, v и w.

Уравнения Eql i1 E(J2 связывают старые производные с новыми. Система этих уравнений решает относительно производных от функции z (команда solve()). мее задаем закон61 перехода от старых переменных и функции к новым.

Переменной S присваиваем в качестве значения результат выполнения процедуры преобразования производных. > S:=VarChange(F,G,H,u,v,w);

После этого в уравнении Eq производные от z по х и у, а также сами пере-Гменные и функцию следует выразить через новые параметры. Выполняется такая замена с помощью процедуры subs().

На заметку
Ссылки rhs (S [ 1 ]) и rhs (S [ 2 ]) возвращают выражения для частных производных функции z — это правые части первого и второго равенств, являющихся элементами множества S.

Полученное таким образом уравнение умножим на знаменатель правой части (знаменатель возвращается процедурой denom{)).

После упрощения имеем следующее.

Это уравнение, в частности, можно сократить на экспоненту.

Если уравнение сократить еще на один общий множитель, получим окончательный ответ.

Разумеется, сокращение совсем не обязательно было выполнять "в два этапа", но так нагляднее.