Математический анализ в Maple 9



Исследование рядов на сходимость

Существенным является класс задач, в которых предусматривается исследо вание рядов на предмет сходимости. В этом случае нет необходимости сумми ровать ряд — нужно только сделать вывод, сходится ряд или расходится.

Рассмотрим примеры исследования рядов на сходимость.

Задача 3.3

Исследовать на сходимость ряд

Задаем общую зависимость члена ряда от индекса суммирования.

Проверяем необходимое условие сходимости ряда.

Необходимое условие выполнено, поэтому далее вступают в силу более существенные критерии — в данном случае признак Даламбера.

Проверяем, меньше ли это значение, чем 1.

Таким образом, по признаку Даламбера ряд сходится. В следующих примерах для исследования рядов на сходимость предлагается специальная процедура.

Задача 3.4

Исследовать на сходимость ряды:

Сразу определяем процедуру, которая будет "тестировать" ряды. В процедуре сначала проверяется необходимое условие сходимости ряда. Если условие не выполняется, выводится сообщение Ряд расходится: а(n) не стремится к 0. Если условие выполнено, ряд исследуется на сходимость согласно признаку Коши. При этом, если вычисляемый предел равен 1 (в такой ситуации признак Коши не позволяет сделать заключение о сходимости ряда), пользователь увидит сообщение Необходимо дополнительное исследование.

Аргументом процедуры является общий член ряда (это оператор, т.е. а(n) является функцией п). В теле процедуры используется две локальные переменные: п — для "технических" нужд и Res — для записи результата. При этом переменной среды Digits присвоено значение 100 (по умолчанию равно 10) — переменная определяет, сколько значащих цифр будет вычисляться при работе с числами с плавающей точкой.

Внимание!
Приведенная выше процедура определена без учета многих исключительных ситуаций. Например, если Maple не сможет вычислить предел (для этого, правда, выражение должно быть исключительно запутанным), к которому стремится общий член ряда, результат такого неудачного расчета будет представлен в символьном виде и, естественно, не будет равен нулю. В результате появится сообщение о том, что ряд расходится, поскольку общий член в пределе не стремится к нулю — хотя этого на самом деле может и не быть! Такие особенности следует иметь в виду. В частности, чтобы избежать описанной выше неприятности, можно добавить в процедуру оператор проверки типа сравниваемого с нулем выражения.

Теперь с помощью описанной процедуры можно исследовать на сходимость ряды. Стоит обратить внимание на то, как ниже в качестве параметра процедуры указана зависимость общего члена ряда от индекса суммирования.

Еще один способ вызова процедуры состоит в предварительном описании общего члена ряда в виде оператора действия на индекс суммирования.

Ряд сходится по признаку Коши Рассмотрим еще один пример.

В следующей задаче используются признаки Даламбера и Раабе.

Задача 3.5

Исследовать на сходимость ряд

Описываем общий член ряда как функцию индекса суммирования.

Составляем отношение двух последовательных членов.

После этого упрощаем его.

Далее вычисляем предел.

Поскольку предел равен 1, признак Даламбера не позволяет сделать вывод о сходимости ряда. Поэтому на следующем шаге воспользуемся признаком Раабе.

Полученное число свидетельствует о том, что ряд расходится.