Математический анализ в Maple 9



Интегральные преобразования

Интегральные преобразования и, в первую очередь, преобразование Фурье находят самое широкое практическое применение.

Интегральное преобразование Фурье в Maple выполняется с помощью процедур fourier(), fouriercos() и fouriersin() — соответственно, для комплексного преобразования Фурье, косинус-преобразования и синус-преобразования Фурье. В качестве параметров процедур указываются преобразуемое выражение, переменная, по которой выполняется преобразование, а также переменная для функции-образа. Процедуры доступны при подключении пакета inttrans.

Для выполнения обратного преобразования. Фурье используется процедура invfourier(). Способы вызова перечисленных процедур продемонстрированы в примерах.

Задача 4.7

Найти Фурье-образ функции

Сразу подключаем нужный пакет.

Кроме того, для ясности предположим, что параметр а положителен.

Преобразуемая функция, согласно условию задачи, равна следующему.



Фурье-образ этой функции также определяем как функцию.

Находим функцию-образ.

Чтобы упростить полученное выражение (оно содержит функцию Хеви-
сайда — Heavisidef), которая равна 1 при положительном аргументе и 0 в
противном случае), сообщим вычислительному ядру Maple, что аргумеш
функции-образа является положительным.



Очень часто функции при преобразовании Фурье приходится продолжать четным или нечетным образом.

Задача 4.8

функцию f(x) = ехр(-х) (x > 0) представить интегралом Фурье, продолжая ее а) четным и б) нечетным образом.

После подключения пакета описываем базовую преобразовываемую функцию.

При четном продолжении функции ее Фурье-образ будет совпадать (с точностью до множителя с косинус-преобразованием.

Соответственно, при нечетном продолжении используется синус-преобразование.

К полученным выражениям можно применить процедуру обратного преобразования invfourier(). Синтаксис ее вызова такой же, как и у процедуры прямого преобразования: сначала указывается преобразуемое выражение, затем переменная, относительно которой выполняется преобразование, и, наконец, переменная для функции.

Чтобы упростить эти выражения, сделаем предположение о положительности переменной х.

Выяснить, какова была исходная функция, можно следующим образом.

Здесь команда Re () вычисляет действительную часть аргумента, alm() — комплексную.

На заметку
Умножение выражения на комплексную единицу со знаком минус (-1) не эквивалентно вычислению комплексной части выражения. Это имеет место только в тех случаях, когда выражение чисто комплексное. Основанием для использования выше команд выделения действительной и мнимой частей явилось то, что косинус-образ является четной функцией, а синус-образ — нечетной. В силу этого, после обратного преобразования, в первом случае получаем действительное выражение, во втором — мнимое.

Кроме преобразования Фурье, достаточно часто используется преобразование Лапласа. Свойства образов функций в обеих случаях во многом схожи. Поэтому основанием для использования преобразования Лапласа, как правило, является невозможность выполнить преобразование Фурье.

На заметку
Дело в том, что преобразованию Фурье можно подвергнуть далеко не каждую функцию. Например, проинтегрировать f(x ) = х при преобразовании Фурье не удастся. В отличие от преобразования Фурье, при преобразовании Лапласа офаничения на степень убывания преобразуемой функции в бесконечности не такие жесткие.


Преобразование Лапласа, наряду с преобразованием Фурье, является мощным инструментом исследования и, в частности, часто используется при решении дифференциальных уравнений.

В пакете Maple inttrans имеется процедура lарlасе() для выполнения преобразования Лапласа, а также процедура invlaplace() для выполнения обратного преобразования. Синтаксис их вызова абсолютно такой же, как и у соответствующих процедур преобразования Фурье.

Задача 4.9

Найти изображение Лапласа для функции f(t) = 3Heaviside(t)+2cos(3t).

С точки зрения командного языка Maple принципиальной разницы в том, какое преобразование выполнять — Фурье или Лапласа, нет.

Функция Хевисайда, как уже отмечалось, отлична от нуля и равна 1 только при положительном значении аргумента. Определенная выше функция является достаточно неудобной для преобразования Фурье, однако после преобразования Лапласа образ функции будет иметь вполне приемлемый вид.

Следует иметь в виду, что основные трудности при использовании преобразования Лапласа возникают, в основном, при попытке восстановить функцию по ее образу. В этих случаях Maple полезен, как никогда.

Задача 4.10

Найти оригинал для изображения

Приведенный выше пример особых комментариев не требует. Для определения функции по ее образу была использована процедура invlaplace(), синтаксис вызова которой практически такой же, как и у процедуры прямого преобразования.