Тройные интегралы

Принципиальное отличие тройных интегралов от двойных состоит в том, что теперь появляется еще одна (третья) переменная интегрирования. Во всем остальном они схожи. Как и в случае двойных интегралов, основными методами вычисления тройных интегралов является сведение их к повторным и замена переменных в подынтегральных выражениях. Все в том же пакете student для работы с тройными интегралами предусмотрена процедура Tripleint(), первыми четырьмя параметрами которой указываются интегрируемая функция и переменные интегрирования. Если диапазон изменения последних не указан, пятым параметром является область интегрирования (если точнее, то название этой области).

Для процедуры Tripleint() справедливы те же замечания, что и для процедуры Doubleint() — с той лишь поправкой, что переменных интегрирования три. Ниже показано, как эта процедура используется при решении задач.

Задача 4.14

Вычислить интеграл

При этом главной проблемой является определение области интегрирования. В условии задачи заданы четыре уравнения, определяющие эту область. Три последних — уравнения плоскостей. Ниже на графике показана поверхность, заданная уравнением z=xy.

На заметку
Трехмерные поверхности строятся с помощью процедуры plot 3d (). Дпя вызова этой процедуры никакой специальный пакет подключать не нужно. Параметры процедуры — уравнение поверхности и диапазон изменения переменных. Остальные параметры могут быть настроены с помощью кнопок контекстной панели, которая доступна при выделении рисунка в рабочем листе. Описание кнопок контекстной панели трехмерной графики можно найти в главе 1.

Область интегрирования получается, если эту поверхность рассечь тремя плоскостями:

а) плоскостью, проходящей через ось z и прямую у=х в плоскости XY;
б) плоскостью, параллельной осям z и у и пересекающей плоскость XY по прямой х=1;
в) плоскостью XY.

Отсюда естественным образом определяем границы интегрирования по каждой из переменных и порядок интегрирования.

Однако, как и в случае двойных интегралов, зачастую сразу свести тройной интеграл к повторному не удается — приходится выполнять замену переменных.

Задача 4.15

Вычислить интеграл

Первое, что сделаем после подключения пакетов (student — для использования процедур Tripleint() и changevar(), a plots — для вызова процедуры implicitplot3d()), — определимся с областью интегрирования.

Как несложно убедиться, область интегрирования является внутренней частью конуса, отсекаемой плоскостью г-1, параллельной плоскости XY.

На заметку
Если пользователь в рабочем листе увидит рисунок, несколько отличающийся от приведенного выше, следует воспользоваться контекстной панелью трехмерной графики Что касается процедуры implicitplot3d(), то она используется для отображения заданных в неявном виде поверхностей Ее параметрами указывают уравнение, задающее поверхность, и диапазон изменения переменных. Опция grid задает число базовых точек, по которым строится поверхность (значение по умолчанию [10,10,10])

Определяем границы интегрирования по каждой из переменных и записываем соответствующий тройной интеграл через повторный.

Нужно отметить, что особой трудности в вычислении записанного выше повторного интеграла нет. Однако вычислять его без замены переменных необходимо поэтапно. Проблема в том, что после интегрирования по очередной переменной придется производить упрощение и преобразование полученного выражения; иначе в силу громоздкости последнего Maple вычислить его не сможет.

В данном случае интеграл будет вычисляться посредством замены переменных, и с этой целью вызывается процедура changevar(). Синтаксис ее вызова такой же, как и при замене переменных в двойном интеграле, — указываются равенства, в соответствии с которыми вводятся новые переменные, выражение, в котором выполняется замена, и переменные, через которые следует записать интеграл.

Теперь осталось записать в новых переменных уравнения, определяющие границу области интегрирования. Для этого декартовые координаты выражаем через цилиндрические.

Внимание!
Стандартная процедура changecoords () после подключения пакета plots недоступна -будет вызвана одноименная процедура из указанного пакета.

В результате уравнение конуса будет записано следующим образом.

После упрощения получаем достаточно простое равенство.

Теперь можно вычислить интеграл.

Следует отметить, что в цилиндрических координатах переход к повторному интегралу от тройного осуществлялся безотносительно к повторному интегралу, записанному в исходных декартовых координатах. Этот интеграл рассматривался исключительно как иллюстрация методов перехода от многократных интегралов к повторным.

Задача 4.16

Найти объем тела, ограниченного поверхностями х2 + у1, z = 2x2+2y2

Чтобы определить объем области, следует вычислить тройной интеграл по ней (подынтегральная функция равна 1).

Чтобы наглядно представить саму область интегрирования, поступим следующим образом. Сначала построим две параболические поверхности, ограничивающие рассматриваемую область сверху и снизу. Поверхности показаны ниже.

На следующем рисунке показаны поверхности, ограничивающие область интегрирования сбоку.

Вооружившись такими наглядными иллюстрациями, определим границы интегрирования по каждой из переменных и запишем исходный интеграл через повторный.

Теперь этот интеграл можно вычислить, в результате чего получим значение объема рассматриваемой области.

Выше для получения значения выражения, содержащего неактивную процедуру, была вызвана процедура value ().

Содержание раздела