Математический анализ в Maple 9

http://pilesoska.ru/pyilesosyisakvafiltrom__Rowenta.html          

Криволинейные интегралы

Для вычисления криволинейных интегралов (перюго рода) в пакете student предназначена процедура Lineintf) (она имеет только неактивную форму). Первым параметром этой процедуры указывается интегрируемая функция. Затем можно указать задаваемые в параметрическом виде переменные, саму переменную-параметр и диапазон ее изменения.

Задача 4.17

Вычислить интеграл по контуру С, где С — арка циклоиды:
Подключаем пакет и строим параметрически заданную кривую, по которой следует выполнять интегрирование.

Криволинейные интегралы

При построении графика из параметрических зависимостей предварительно была удалена размерность — посредством деления на а. Опция labels используется для выведения вдоль координатных осей нужных надписей.

Далее записываем сам интеграл.

Криволинейные интегралы

Поскольку до введения интеграла параметрические зависимости для х и у заданы не были, интеграл отображен в обобщенном символьном виде.

На следующем этапе с помощью параметрических зависимостей, согласно уравнению циклоиды, задаем контур, по которому следует выполнить интегрирование.

Криволинейные интегралы

Теперь, когда параметрические зависимости заданы, можно вычислить интеграл.

Криволинейные интегралы

Последнее выражение следует упростить. При упрощении в процедуре simplify!) после параметра — переменной среды %, ссылающейся на значение интеграла — указана опция symbolic. В этом случае упрощение будет производиться в символьном виде. В частности, при вычислении квадратного корня из переменной в квадрате (в данном случае это переменная а) результатом будет сама эта переменная (а не ее модуль).

Криволинейные интегралы

Криволинейные интегралы находят вполне конкретное практическое применение. В частности, с помощью криволинейных интегралов (второго рода) можно вычислять площади фигур, ограниченных кривыми. Наиболее удобен такой подход, когда ограничивающие область кривые заданы в параметрическом виде.

Задача 4.18

С помощью криволинейного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой (Декартов лист).

Формально площадь фигуры, ограниченной кривой, может быть записана следующим образом.

Криволинейные интегралы

Чтобы вычислить этот интеграл, необходимо параметризировать кривую, заданную следующим уравнением.

Криволинейные интегралы

Предположим, что вдоль кривой координаты х, у и переменная-параметр t связаны следующим соотношением.

Криволинейные интегралы

Подставляем это соотношение вместо у в уравнение кривой.

Криволинейные интегралы

Полученное уравнение (в переменных х и t) решаем относительно х.

Криволинейные интегралы

Среди найденных таким образом решений одно является нетривиальным. Это и есть искомая зависимость переменной х от параметра t.

Криволинейные интегралы

Теперь зависимость переменной у от параметра t получить несложно.

Криволинейные интегралы

Ниже представлена область, площадь которой вычисляется.

Криволинейные интегралы

Наконец, вычисляем площадь.

Криволинейные интегралы

Полученное выражение достаточно громоздко. Кроме того, оно является комплексным. Последнее обстоятельство объясняется теми алгоритмами, которые используются вычислительным ядром Maple при вычислении интегралов. Упрощаем это выражение.

Криволинейные интегралы

Видим, что после упрощения результат выглядит вполне компактно.


Содержание раздела