Математический анализ в Maple 9



Криволинейные интегралы

Для вычисления криволинейных интегралов (перюго рода) в пакете student предназначена процедура Lineintf) (она имеет только неактивную форму). Первым параметром этой процедуры указывается интегрируемая функция. Затем можно указать задаваемые в параметрическом виде переменные, саму переменную-параметр и диапазон ее изменения.

Задача 4.17

Вычислить интеграл по контуру С, где С — арка циклоиды:
Подключаем пакет и строим параметрически заданную кривую, по которой следует выполнять интегрирование.

При построении графика из параметрических зависимостей предварительно была удалена размерность — посредством деления на а. Опция labels используется для выведения вдоль координатных осей нужных надписей.

Далее записываем сам интеграл.

Поскольку до введения интеграла параметрические зависимости для х и у заданы не были, интеграл отображен в обобщенном символьном виде.

На следующем этапе с помощью параметрических зависимостей, согласно уравнению циклоиды, задаем контур, по которому следует выполнить интегрирование.

Теперь, когда параметрические зависимости заданы, можно вычислить интеграл.

Последнее выражение следует упростить. При упрощении в процедуре simplify!) после параметра — переменной среды %, ссылающейся на значение интеграла — указана опция symbolic. В этом случае упрощение будет производиться в символьном виде. В частности, при вычислении квадратного корня из переменной в квадрате (в данном случае это переменная а) результатом будет сама эта переменная (а не ее модуль).

Криволинейные интегралы находят вполне конкретное практическое применение. В частности, с помощью криволинейных интегралов (второго рода) можно вычислять площади фигур, ограниченных кривыми. Наиболее удобен такой подход, когда ограничивающие область кривые заданы в параметрическом виде.

Задача 4.18

С помощью криволинейного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой (Декартов лист).

Формально площадь фигуры, ограниченной кривой, может быть записана следующим образом.

Чтобы вычислить этот интеграл, необходимо параметризировать кривую, заданную следующим уравнением.

Предположим, что вдоль кривой координаты х, у и переменная-параметр t связаны следующим соотношением.

Подставляем это соотношение вместо у в уравнение кривой.

Полученное уравнение (в переменных х и t) решаем относительно х.

Среди найденных таким образом решений одно является нетривиальным. Это и есть искомая зависимость переменной х от параметра t.

Теперь зависимость переменной у от параметра t получить несложно.

Ниже представлена область, площадь которой вычисляется.

Наконец, вычисляем площадь.

Полученное выражение достаточно громоздко. Кроме того, оно является комплексным. Последнее обстоятельство объясняется теми алгоритмами, которые используются вычислительным ядром Maple при вычислении интегралов. Упрощаем это выражение.

Видим, что после упрощения результат выглядит вполне компактно.