Математический анализ в Maple 9



Поверхностные интегралы

Поверхностные интегралы, как и криволинейные, делятся на интегралы первого и второго рода. В данном случае будут рассматриваться поверхностные интегралы первого рода, для которых поверхность, по которой выполняется интегрирование, задана в виде функции z(x,y).

Специальных процедур для вычисления поверхностных интегралов в Maple нет. Однако существующих утилит вполне достаточно для решения очень многих задач прикладного характера.

Задача 4.19

Найти площадь поверхности z =ху , отсекаемой плоскостями х + у = 1, х =0, у = 0, z = 0.

Для большего удобства определим процедуру, посредством которой поверхностный интеграл будет сводиться к повторному (и, разумеется, вычисляться). Данная процедура будет иметь четыре параметра: первый — интегрируемая функция (f); второй — это функция, задающая поверхность, вдоль которой вычисляется интеграл (z); и, наконец, два последних — переменные интефирования с указанием диапазона их изменения.

Внимание!
Из сказанного выше следует, что если проекция поверхности интегрирования такова, что сразу указать диапазон изменения по каждой переменной не удается, — процедура для вычисления интеграла по такой поверхности неприменима. Другими словами, прежде чем использовать процедуру, следует определиться с областью интегрирования.

В процедуре локальным переменным t и и присваиваются в качестве значений левые части аргументов xRange и yRange. Эти параметры являются равенствами (например, х=а. .Ь). Следовательно, левая часть такого равенства — это переменная, а правая часть — диапазон ее изменения.

В процедуре записан двойной интеграл, где подынтегральная функция умножается на соответствующий квадратный корень, содержащий частные производные от функции z, а в качестве диапазонов изменения переменных интефирования указаны аргументы xRange и yRange.

Ниже представлена поверхность, по которой в данной задаче следует вычислить интеграл.

Теперь, применяя описанную выше процедуру, сможем вычислить интеграл.

Понятно, что подобные процедуры наиболее эффективны в тех случаях, когда нужно решать большое число стереотипных задач. Кроме того, необходимым условием применения данной процедуры для вычисления интеграла является однозначность функции, задающей поверхность интегрирования. Неоднозначные функции принципиальной проблемы не составляют — однако в этом случае процедуру все же следует переопределять.

Полезно все же посмотреть, как процесс вычисления поверхностного интеграла выглядит во всех деталях.

Задача 4.20

Вычислить поверхностный интеграл первого рода от функции f(x,y) - х1 +у2 по границе тела

В первую очередь необходимо определиться с поверхностью, по которой вычисляется интеграл. В принципе, поверхность эта достаточно проста — конус, ограниченный сверху плоскостью z=l. Очевидно, удобнее всего такую замкнутую поверхность строить в цилиндрической системе координат. Проблема, однако, состоит в том, что в Maple в цилиндрической системе координат функциональной зависимостью является зависимость радиуса (координата р) от угла ф и координаты z. При таком подходе крайне неудобно задавать плоскость z=l. Поэтому опишем собственную цилиндрическую систему координат, в которой функциональной будет зависимость координаты г от двух других переменных. Делается это с помощью процедуры addcoords(). Первым ее параметром указывается название новой системы координат (new_cylind), затем следует список координат. Первая координата является при отображении графиков функцией двух других. Элементами следующего списка-параметра будут выражения для декартовых координат х, у и z через новые переменные.

После этого новую координатную систему можно использовать при построении графиков. В частности, боковая поверхность конуса задается уравнением z=p, а ограничивающая плоскость, как уже отмечалось, определяется уравнением z=l. Можем вызывать процедуру plot3d() (главное, не забыть указать, что график строится в новой системе координат: опция coords=new_cylind).

Интеграл разобьем на две части: сначала вычислим интеграл по боковой поверхности конуса, а затем — интеграл по плоскости. Задаем уравнение боковой поверхности.

Кроме того, определяем подынтегральную функцию.

Эта функция в дальнейшем при вычислении интеграла будет умножаться на квадратный корень (с частными производными), который определим как функцию R двух переменных.

Можно проверить, чему эта функция равна для заданной ранее функции z.

Это выражение упрощаем и присваиваем в качестве значения переменной А.

Как уже отмечалось, исходный интеграл (его значение запишем в переменную S) представляем в виде двух интегралов (это будут интегралы 1п[1] и 1п[2] — элементы массива In).



На заметку
Массив является множеством индексированных элементов. Во многом он напоминает список. Ссылка на элемент массива выполняется путем указания в квадратных скобках после названия массива индекса соответствующего элемента.


Теперь необходимо определиться с областью интегрирования в плоскости XY. Как нетрудно убедиться, для обеих поверхностей конуса (т.е. его боковой поверхности и основания) такой проекцией является круг радиуса 1; по этому кругу и следует интегрировать (в плоскости XY!). Интегрирование сначаш выполняем по переменной х (пределы интегрирования от

Полученное таким образом выражение интефируем по у в пределах от -1 до 1

Это значение присваиваем элементу 1п[1].

Второй интефал будем вычислять через двойной. Но прежде заметим, чтс на рассматриваемой поверхности z=l все частные производные равны нулю, и поэтому корень, на который следует умножить подынтефальную функцию, автоматически превращается в 1 (специально вычислять его не будем). Чтобы можно было воспользоваться процедурой вычисления двойного интефала, подключим пакет student.

При таком описании интефала его можно вычислить с помощью процедуры value(). Затем это вычисленное значение присваиваем элементу 1n[2].

Суммарный интефал равен следующему.



На заметку
Если просто вызвать процедуру value(In[2]), то значение интеграла будет вычислено, но не будет присвоено элементу 1n[2] в качестве значения. Этот элемент так и останется интегралом в символьном виде!

Выражение можно упростить, вынеся Pi за скобки.

Кроме того, можно воспользоваться командой приведения к общему знаменателю.

При этом за скобки будет вынесен еще и множитель 1/2.