Математический анализ в Maple 9

Domain Name Variations Similar to: www,plurium,ca, lurium,ca в москве


Уравнения в частных производных

Поиск решений уравнений в частных производных требует определенной изобретательности. Рассмотрим задачи для линейных уравнений в частных производных второго порядка, которые еще называют уравнениями математической физики.

Способ решения уравнений в частных производных во многом определяется областью, для которой задана задача, а также граничными и начальными условиями. Для начала рассмотрим задачу о колебаниях бесконечной струны.

Задача 5.10

Найти решение уравнения u(х,0)=0, <x<+,t=>0. (нижний индекс означает производную), удовлетворяющее начальным условиям u(х,0)=0, <x<+,t=>0.

Рассматриваемое уравнение является уравнением гиперболического типа. Подобные задачи возникают при описании процесса распространения волн, например, по бесконечной струне. Функция u(x,t) определяет отклонение точки струны с координатой х в момент времени t. Соответствующее волновое уравнение (а — параметр задачи) имеет следующий вид.

Для решения этого уравнения воспользуемся процедурой pdsolve() и поручим следующее.

В данном случае функции _F1 () и _F2 () являются произвольными дважды дифференцируемыми функциями. Таким образом, общее решение уравнения iBqn представляется в виде суперпозиции двух функций с соответствующими аргументами. Следовательно, чтобы полностью решить задачу, необходимо [определить вид этих функций. Функции определяются из начальных условий. Но прежде задаем и () как функцию двух параметров х и t.

Далее воспользуемся тем, что производная по времени от функции u(x,t) начальный момент равна нулю.



На заметку
Производная по второму аргументу функции u(x,t) вычисляется посредством оператора эенцирования с указанием в квадратных скобках индекса переменной, по которой числяется производная: D(2](u).


Полученное таким образом дифференциальное уравнение решаем относительно функции _Fl(x).

Видим, что функции _F1 и _F2 с точностью до знака аргумента и конанты С1 совпадают. Константу можно положить равной нулю (несложно доказать, что общности метода это не ограничит), а функцию _F1 обозначим как F.

Тогда естественно определить функцию F2 следующим образом.

Следовательно, искать решение уравнения нужно в таком виде.

В последнем выражении присутствует уже только одна неизвестная функция F. При этом первое слагаемое F(at+x) описывает волну, распространяющуюся влево, а слагаемое F(-at+x) — волну, которая распространяется вправо. Непосредственно функцию F будем искать из оставшегося неиспользованным начального условия для значения функции u(x,t) в начальный момент времени.

Согласно полученному выражению для функции u(x,t), в начальный момент (при t=0) она равна следующему.

С другой стороны, это функция f (х), т.е. начальное отклонение струны. Для определенности возьмем функцию f (x) в таком виде.

Первоначальный профиль струны, таким образом, имеет форму симметричного треугольника.

На заметку
Функция Heaviside(x) равна 1 при х>0 и 0 — в противном случае.

Функция F тогда равна следующему.

Чтобы отобразить решение графически, присвоим значение символьному параметру а.

Значение функции u(x,t) будет таким.

Динамику системы будем отслеживать с помощью процедуры отображения анимации animate() из пакета plots. Параметры этой процедуры практически такие же, как и у процедуры plot(), но есть некоторые особенности. Второй параметр (в данном случае — это t) является не пространственной, а временной переменной. Другими словами, он определяет интервал, на протяжении которого будет отображаться анимация. Поэтому, чтобы задать диапазон отображения по вертикальной координате, используют опцию view и указывают нужный диапазон (здесь от 0 до 0.5). Назначение прочих опций такое же, как и в процедурах двухмерной графики.

Деформация бесконечной струны. Первый (начальный) кадр

Деформация бесконечной струны. Второй кадр

Деформация бесконечной струны. Третий кадр

Деформация бесконечной струны. Четвертый кадр

Деформация бесконечной струны. Пятый кадр

Чтобы "оживить" картинку, следует ее выделить (щелкнуть на ней кнопкой мыши) и выбрать на появляющейся в этом случае контекстной панели анимации нужные кнопки (их описание можно найти в главе 1). То же можно сделать с помощью опций раскрывающегося меню. К сожалению, в книге нет возможности демонстрировать анимацию. Поэтому выше приведены только некоторые кадры. Первым показан профиль струны в начальный момент времени. Второй и третий кадры дают представление о том, как реализуется суперпозиция распространяющихся в разные стороны волн. На четвертом кадре волны разошлись и дальше распространяются независимо друг от друга. Это особенно хорошо видно на пятом кадре.

Практически так же решается задача и для полубесконечной струны — условие задачи такое же, но только в этом случае 0 < х < +оо. Кроме того, следует задать значение функции u(0,t) на левой границе. Если левый конец струны закреплен, то это значит, что u(0,t)=0. Именно такую ситуацию И рассмотрим.

Для полубесконечной струны с нулевым граничным условием задача может быть решена, если рассмотреть бесконечную струну с начальными условиями, Нродленными на отрицательные значения аргумента нечетным образом.

Начальное отклонение возьмем в виде выгнутой вверх параболы.

Функцию f(x) получаем из функции fl(x) путем нечетного продолжения Последней, т.е. f (x)=fl(x) при х>0 и f (x)=-fl(-x) — в противном случае.

Это решение отображаем в динамическом режиме.

Полубесконечная струна в антисимметричном отображении. Первый (начальный) кадр

Полубесконечная струна в антисимметричном отображении. Второй кадр

Полубесконечная струна в антисимметричном отображении. Четвертый кадр

Полубесконечная струна в антисимметричном отображении. Шестой кадр .

Полубесконечная струна в антисимметричном отображении. Восьмой кадр

Выше на первом кадре показано начальное распределение отклонения J(x,0). Полезной является только правая (относительно вертикальной координатной оси) часть графика; левая часть вспомогательная. На втором кадре можно видеть причудливую фигуру, образующуюся при расхождении волн. Симметричная относительно начала координат структура является мнимой; это условная волна, при наличии которой колебания бесконечной струны осуществляются так же, как и полубесконечной.

На четвертом кадре можно увидеть, как распространяющаяся влево волна подходит к левой границе струны.

Далее приведены шестой и восьмой кадры. На шестом кадре можно видеть процесс отражения волны от левой граничной точки, где закреплена струна. На восьмом кадре волна полностью отразилась и, перевернутая, движется вдогонку той, что с самого начала уходила в направлении координатной оси.

Однако удобнее спрятать левую, так сказать, несуществующую часть графика. Для этого необходимо несколько видоизменить параметры при вызове анимации: зададим диапазон изменения переменной х равным 0..4, а заодно уменьшим временной интервал, на протяжении которого отслеживается динамика системы.

Колебания полубесконечной струны. Первый (начальный) кадр

Колебания полубесконечной струны. Второй кадр

Колебания полубесконечной струны. Третий кадр

Колебания полубесконечной струны. Четвертый кадр

Колебания полубесконечной струны. Пятый кадр

Колебания полубесконечной струны. Восьмой кадр

Колебания полубесконечной струны. Десятый кадр

Колебания полубесконечной струны. Двенадцатый кадр

Колебания полубесконечной струны. Четырнадцатый кадр

Колебания полубесконечной струны. Шестнадцатый кадр

Начальное состояние такое же, но весь процесс выглядит теперь несколь-иначе. Кадры с первого по пятый позволяют в деталях проследить дина-1ку расхождения двух волн.

На восьмом кадре видно, как одна из волн приближается к фиксированной тачной точке струны х=0. После этого начинается процесс отражения от границы. На десятом кадре видно, как деформируется набегающая волна.

Двенадцатый кадр позволяет убедиться, что деформация струны у границы практически отсутствует. На четырнадцатом кадре видно отраженную волну, которая уходит от стенки. На шестнадцатом кадре представлена полностью сформированная отраженная волна. После этого обе волны движутся в одном "направлении (с одинаковой скоростью).

Рассмотренный выше подход называется методом распространяющихся волн или методом Даламбера. Данный метод приемлем, в основном, при ешении задач для бесконечных и полубесконечных областей. Ситуация несколько усложняется, если рассматривать струну конечной длины. Об этом следующая задача.

Задача 5.11

Решить задачу о колебаниях конечной струны

Уравнение не изменилось, однако здесь иная область, а также иные начальные и граничные условия. Нулевые граничные условия соответствуют ситуации, когда концы струны закреплены. Начальный профиль струны имеет вид выгнутой параболы.

Определим уравнение.

Решение будем искать методом разделения переменных. Этот метод подразумевает, что поиск решения осуществляется в виде произведения нескольких (в данном случае двух — по количеству переменных) функций, каждая из которых зависит от одного аргумента. В этом случае при вызове процедуры pdsolve() следует использовать опцию HINT, указав ее значение равным X(x)*T(t); именно в таком виде будем искать функцию u(x,t)=X(x)*T(t) (X(x) и T(t) являются неизвестными функциями одной переменной). Таким образом, имеем следующее.

В полученном в результате выполнения команды выражении сначала указано, в каком виде искалась функция u(x,t), а затем в квадратных скобках после ключевого слова where (в переводе значит где) перечислены условия (уравнения), которым должны удовлетворять функции Х(х) и T(t).

Задаем уравнение для функции Х(х), заменив в нем для удобства переменную среды



На заметку
Стоит обратить внимание на способ, которым с помощью оператора формирования последовательности ($) задана вторая производная. Здесь использована та особенность, что результатом выполнения команды '$' (х,2) является последовательность х,х.

Решаем это уравнение относительно Х(х), приняв во внимание одно из начальных условий, а именно: поскольку u(0,t)=X(0)T(t)=0, то Х(0)=0. Получаем следующее.

Параметр Я. должен быть таким, чтобы выполнялось и условие Х(1)=0. Но прежде чем решать соответствующее уравнение (относительно X), присвоим переменной среды _EnvAllSolutions, отвечающей за поиск всех решений уравнения, значение true.

В этом выражении переменная среды _Z1 "нумерует" собственные числа.

Внимание!
Зыше переменная среды _Z1 в области вывода содержит знак тильды. Это значит, что переменная может принимать далеко не любое значение; на нее наложены ограничения Что это за ограничения, можно узнать, воспользовавшись процедурой about (). В данном [случае в результате выполнения команды about(_Zl) появится сообщение Originally renamed _Z1": is assumed to be: integer, что в переводе значит следующее I исходном варианте _Z1, переименовано в _2Г: предполагается, что имеет целочисленный тип (integer)".

Поэтому можем задать зависимость, определяющую собственные числа краевой задачи (именно так называются найденные выше значения для .lambda).

После этого определим собственные функции — такие функции, которые соответствуют собственным числам задачи.

Решение искалось такое, чтобы оно автоматически удовлетворяло одному из начальных условий (равенство нулю производной в начальный момент). Поскольку возможные значения для lambda определены выше (зависимость nu(n)), заменяем параметр lambda на nu(n) и определяем базовые функции, соответствующие собственным числам.

Неизвестные коэффициенты разложения А[п] находятся из начального условия. Согласно условию задачи, в начальный момент профиль струны определяется следующей функцией.

Отсюда, в частности, следует, что искомые коэффициенты совпадают с коэффициентами разложения функции f (х) в ряд Фурье по синусам на интервале от 0 до 1. Ниже эти коэффициенты будут вычислены, однако прежде следует указать, что индекс п коэффициента А является целым положительным числом.



Внимание!
При определении коэффициентов разложения используются индексы. Поскольку все присвоения символьные, массив в этом случае не задается, равно как и функция от ин-зкса. Другими словами, вызовом А[ 1 ] выражение для первого коэффициента ряда почить не удастся. Чтобы это было возможно, следует определять коэффициенты как функции индекса.

Выражение для функции u(x,t) будет иметь следующий вид.

Проанализируем полученное решение, отобразив его графически. Для эго прежде присвоим параметрам задачи численные значения.

Кроме того, следует учесть, что ряд для функции u(x,t) бесконечный, поэтому его следует ограничить — нужно оставить конечное число слагаемых. Соответствующее выражение определим следующим образом (коэффициенты записаны в явном виде, N — число слагаемых в ряде).

Теперь с помощью процедуры animate () воспроизводим процесс колебаний струны.

Колебания струны конечной длины. Первый (начальный) кадр

Колебания струны конечной длины. Четвертый кадр

Колебания струны конечной длины. Седьмой кадр

Чтобы изображение струны, представленное на первом кадре, "ожило", нужно воспользоваться кнопкой запуска анимации на контекстной панели. После первого приведены некоторые наиболее характерные кадры. Так, на четвертом кадре струна прогибается, а на седьмом кадре видно профиль струны в нижнем положении.

Задача усложняется, если размерность области увеличивается. Однако основной подход — метод разделения переменных — остается неизменным.