Математический анализ в Maple 9



Численное интегрирование

Численное интегрирование выполняется с помощью той же самой процедуры, что и вычисление интегралов в символьном виде. Разница состоит в том, что теперь процедура int() (или Int()) сама указывается аргументом процедуры evalf(). При этом имеет место следующее правило. Если используется процедура int(), то сначала предпринимается попытка вычислить интеграл в символьном виде. Если же воспользоваться неактивной формой процедуры, т.е. Int(), то интеграл сразу будет вычисляться в численном виде. Разумеется, речь идет о тех случаях, когда процедуры сами являются параметром процедуры evalf() и для переменной интегрирования задан диапазон изменения. Параметром указанных Процедур может быть и оператор. В этом случае указывается только диапазон изменения переменной — сама переменная не указывается. .Кроме того, в процедурах Into и int() допускается использование необязательных параметров. Эти параметры описаны в табл. 7.6.

Таблица 7.6. Опции процедуры int()

Опция

Описание

digits

Значением опции является целое положительное число, определяющее количество значащих цифр. Допускается задавать значение опции без указания последней. По умолчанию значение опции определяется переменной среды Digits

epsilon

Верхняя граница для относительной погрешности вычислений. По умолчанию определяется согласно формуле epsilon=0.5 *10Л(1-digits)

method

Метод вычисления интеграла. Значение может указываться без ссылки на название опции

Первостепенное значение имеет метод, с помощью которого вычисляется интеграл. Особенно это справедливо, когда в символьном виде интеграл вычислен быть не может. Возможные значения опции method перечислены в табл. 7.7.

Рассмотрим примеры, в которых интегралы вычисляются разными методами. Для начала вычислим следующий интеграл.

Таблица 7.7. Значения опции method

Значение

Описание

CCquad

Метод квадратур

_cuhre

Метод вычисления многократных интегралов на областях конечных размеров (новое в Maple 9 значение)

dOlajc

Адаптивный 10-точечный метод Гаусса с использованием правила Кронрода 21 точки. Применяется при конечных пределах интегрирования

_d01akc

Адаптивный 30-точечный метод Гаусса с использованием правила Кронрода 61 точки. Применяется при конечных пределах интегрирования с осциллирующими подынтегральными выражениями

_d01amc

Метод для вычисления интегралов на бесконечных интервалах

_DEFAULT

Эквивалент отсутствия явного указания метода интегрирования

_Dexp

Адаптивный метод двойного показателя

Gquad

Адаптивный метод квадратур Гаусса (новое в Maple 9 значение)

_NCrule

Метод Ньютона-Котеса

_NoNAG

Инструкция не использовать процедуры NAG

_NoMultiple

Инструкция не вызывать процедуры вычисления многократных интегралов. Такие интегралы вычисляются в этом случае через последовательное вычисление однократных интегралов (новое в Maple 9 значение)

MonteCarlo

Метод Монте-Карло. Используется для многократных интегралов. Это значение в версии Maple 9 заменило использовавшееся ранее значение dOlgbc

_Sinc

Адаптивный метод квадратур

Если интеграл вычислять адаптивным 30-точечным методом Гаусса, результат получится таким же.

Далее рассмотрим интеграл от функции, имеющей особенность на границе интегрирования.



Внимание!
Явное указание метода интегрирования автоматически означает, что никакие другие методы, в том числе и методы обработки сингулярностей, не используются.

Наконец, с помощью двойного интеграла вычислим площадь круга единичного радиуса.

В Maple 9 воспользоваться приведенной выше командой не удастся из-за переопределения опции для метода Монте-Карло и изменения синтаксиса вызова команд вычисления многократных интегралов. В качестве утешения можно посчитать площадь квадрата.



На заметку
Вычисление интегралов методом Монте-Карло основано на использовании вероятностных оценок. Например, площадь круга могла бы вычисляться так: генератором случайных чисел продуцируются точки на плоскости, попадающие во внутреннюю область квадрата с координатами вершин (1,1), (-1,1), (-1,-1), (1,-1). Затем среди этих точек подсчитывается (в процентном отношении) количество тех, которые попадают во внутреннюю область круга единичного радиуса, вписанного в этот квадрат. При большом количестве точек упомянутое процентное отношение будет одновременно определять отношение площади круга к площади квадрата. Последняя, очевидно, равна 4. Метод достаточно элегантный, но не очень точный.

Вывод, как и в случае численного дифференцирования, состоит в том, что спецификацию метода разумно выполнять только в тех случаях, когда пользователь полностью уверен в правильности своих действий.