Основные средства решения дифференциальных уравнений
Основная функция dsolve
Важное место в математических расчетах
занимает решение дифференциальных уравнений. К нему, в частности, обычно относится
анализ поведения различных систем во времени (анализ динамики), а также вычисление
различных полей (тяготения, электрических зарядов и т. д.). Трудно переоценить
роль дифференциальных уравнений в моделировании физических и технических объектов
и систем, Maple 7 позволяет решать одиночные дифференциальные уравнения и системы
дифференциальных уравнений как аналитически, так и в численном виде. Разработчиками
системы объявлено о существенном расширении средств решения дифференциальных
уравнений и о повышении их надежности в смысле нахождения решений для большинства
классов дифференциальных уравнений. Поэтому данный урок целиком посвящен решению
уравнений данного класса. Для решения системы простых дифференциальных уравнений
(задача Коши) используется функция dsolve в разных формах записи:
dsolve(ODE)
dsolve(ODE,
y(x), extra_args)
dsolve((ODE,
ICs}, y(x), extra_args)
dsolve({sysODE,
ICs}, {funcs}, extra_args)
Здесь ODE — одно обыкновенное дифференциальное
уравнение или система из дифференциальных уравнений первого порядка с указанием
начальных условий, у(х) — функция одной переменной, Ics — выражение, задающее
начальные условия, {sysODE} —множество дифференциальных
уравнений, {funcs} —множество неопределенных функций,
extra_argument — опция, задающая тип решения. Параметр
extra_argument задает класс решаемых уравнений. Отметим
основные значения этого параметра:
- exact
— аналитическое решение (принято по умолчанию);
- explicit
— решение в явном виде;
- system
— решение системы дифференциальных уравнений;
- ICs
— решение системы дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями;
- formal series
— решение в форме степенного многочлена;
- integral transform
— решение на основе интегральных преобразований Лапласа, Фурье и др.;
- series
— решение в виде ряда с порядком, указываемым значением переменной Order;
- numeric
— решение в численном виде.
Для решения задачи Коши в параметры
dsolve надо включать начальные условия, а при решении
краевых задач — краевые условия. Если Maple способна найти решение при числе
начальных или краевых условий меньшего порядка системы, то в решении будут появляться
неопределенные константы вида _С1, _С2 и т. д. Они же могут быть при аналитическом
решении системы, когда начальные условия не заданы. Если решение найдено в неявном
виде, то в нем появится параметр _Т.
По умолчанию функция
dsolve автоматически выбирает наиболее подходящий метод решения дифференциальных
уравнений. Однако в параметрах функции dsolve в квадратных
скобках можно указать предпочтительный метод решения дифференциальных уравнений.
Допустимы следующие методы:
quadrature |
linear |
Bernoulli |
separable |
|
|
|
|
exact |
Abel |
pot_sym |
|
Информацию о каждом методе можно
получить, используя команду Tdsolve, method и указав
в ней конкретный метод. Например, команда Tdsolve,linear
вызовет появление страницы справочной системы с подробным описанием линейного
метода решения дифференциальных уравнений.
Производные при записи дифференциальных
уравнений могут задаваться функцией diff или оператором D. Выражение
sysODE должно иметь структуру множества и содержать помимо самой системы
уравнений их начальные условия.