Компьютерная математика Maple



 

Пакет ортогональных многочленов orthopoly

Ортогональные многочлены (полиномы) находят самое широкое применение в различных математических расчетах. В частности, они широко используются в алгоритмах интерполяции, экстраполяции и аппроксимации различных функциональных зависимостей. В пакете orthopoly задано в функци: 

> with(orthopoly);

[G,H,L,P,T,U]

Однобуквенные имена этих функций отождествляются с первой буквой в наименовании ортогональных полиномов. Вопреки принятым в Maple 7 правилам, большие буквы в названиях этих полиномов не указывают на инертность данных функций — все они являются немедленно вычисляемыми. В данном разделе функции этого пакета будут полностью описаны. Отметим определения указанных функций:

  •  G(n,a,x) — полином Гегенбауэра (из семейства ультрасферических полиномов); 
  •  Н(n,х) — полином Эрмита; 
  •  L(n,x) — полином Лагерра; 
  •  L(n,а,х) — обобщенный полином Лагерра; 
  •  Р(n,х) — полином Лежандра; 
  •  P(n,a,b,x) — полином Якоби;
  •  Т(n,х) — обобщенный полином Чебышева первого рода;
  •   U(n,x) — обобщенный полином Чебышева второго рода.

Свойства ортогональных многочленов хорошо известны. Все они характеризуются целочисленным порядком n, аргументом х и иногда дополнительными параметрами а и b. Существуют простые рекуррентные формулы, позволяющие найти полином n-го порядка по значению полинома (n - 1)-го порядка. Эти формулы и используются для вычисления полиномов высшего порядка. Ниже представлены примеры вычисления ортогональных полиномов:

 

Представляет интерес построение графиков ортогональных многочленов. На рис. 14.1 построены графики ряда многочленов Гегенбауэра и Эрмита.

Рис. 14.1. Графики ортогональных многочленов Гегенбауэра и Эрмита

На рис. 14.2 построены графики ортогональных многочленов Лагерра и Лежандра.

Наконец, на рис. 14.3 даны графики ортогональных многочленов Чебышева Т(n, х) и U(n, х).

Приведенные графики дают начальное представление о поведении ортогональных многочленов. 

Рис. 14.2. Графики ортогональных многочленов Лагерра и Лежандра

Рис. 14.3. Графики ортогональных многочленов Чебышева

К примеру, многочлены Чебышева имеют минимальное отклонение от оси абсцисс в заданном интервале изменениях. Это их свойство объясняет полезное применение таких многочленов при решении задач аппроксимации функций. Можно порекомендовать читателю по их образу и подобию построить графики ортогональных многочленов при других значениях параметра и и диапазонах изменения аргумента х.

 В отличие от ряда элементарных функций ортогональные многочлены определены только для действительного аргументах. При комплексном аргументе просто повторяется исходное выражение с многочленом:

> eva1f(U(2,2+3*I))):

Р(2,2 + 3I) 

> evalf(sqrt(2+3*I)));

1.674149228+ .8959774761I

Ортогональные многочлены неопределены также и для дробного показателя n. Впрочем, надо отметить, что такие многочлены на практике используются крайне редко.

 

Назад Начало Вперед