Компьютерная математика Maple
Моделирование физических явлений
Расчет траектории камня с учетом сопротивления воздуха
Вы хотите метнуть камень в огород вашего вредного соседа? Разумеется, во время его отсутствия. Давайте промоделируем эту ситуацию, предположив два актуальных случая: дело происходит на Луне и на Земле. В первом случае сопротивления воздуха (как и его самого) нет, а в другом — сопротивление воздуха есть и его надо учитывать. Иначе камень упадет в ваш огород, а не в огород соседа!
Итак, пусть подвернувшиеся под руку камни с массой 500 и 100 г брошены под углом 45° к горизонту со скоростью Vo = 20 м/с. Найдем их баллистические траектории, если сила сопротивления воздуха Fтр=А*V, где А=0,1 Н*с/м. Сравним их с траекториями, получающимися без учета сопротивления воздуха.
Начнем с подключения пакета plots, нужного для визуализации данной задачи:
> restart;
> with(plots):
Warning, the name changecoords has been redefined
Составим параметрические уравнения для проекций скорости на оси координат:
> Vox:=Vo*cos(a1pha):Voy:=Vo*sin(alpha):
Vox:= Focos(a)
Voy :=Vo sin(a)
Мы рассматриваем два случая: камень массой 500 г и камень массой 100 г. Поскольку для каждого случая мы предусматриваем расчет в двух вариантах (с учетом сопротивления воздуха и без такого учета), то мы должны составить 4 системы дифференциальных уравнений (ДУ). Каждая система состоит из двух ДУ второго порядка и вид этих систем известен из курса физики. Ниже представлено задание этих систем ДУ (для первой системы дан вывод ее вида):
Зададим исходные числовые безразмерные данные для расчета:
Выполним решение заданных систем ДУ:
Создадим графические объекты — результаты решения систем ДУ:
Построим графики траекторий для первого случая:
Графики траекторий полета камня с массой 500 г представлены на рис. 17.6.
Рис. 17.6. Баллистические траектории камня с массой 500 г
Теперь построим графики траекторий для второго случая:
> display({a3,a4,t1},title='Tpaeкт. полета тела массой 100 г, labels=[x.у], labelfont=[TIMES.ROMAN,14]):
Они представлены на рис. 17.7.
Рис. 17.7. Баллистические траектории камня при массе 100 г
Из проведенных расчетов и графиков видно, что при учете силы сопротивления воздуха дальность и высота полета сильно уменьшаются по сравнению с полетом в вакууме, и эта разница зависит от массы тела, поэтому при небольшой массе тела сопротивлением воздуха пренебрегать нельзя.
